W 2024 roku ukazało się wznowienie (po prawie 50 latach!) książki Kotaro Karasawy “Kyūdō dokuhon” 弓道読本. O jakości książki niech świadczy fakt, że przed wydaniem reprintu trzeba było za używany egzemplarz zapłacić ~10 razy więcej, niż cena regularna!

Pomiędzy znakomitymi opisami biomechaniki, techniki i szczegółów związanych ze strzelaniem znalazła się ciekawostka. Autor postanowił policzyć, ile standardowych strzał (o średnicy 8 mm) może trafić jednocześnie w mato o średnicy 360 mm. Pan Karasawa wyliczył, że zmieszczą się 1743 strzały.

Postanowiliśmy sprawdzić, czy dojdziemy do podobnych wyników 🙂

Stosunek pól mato (P) do strzały (p) można policzyć jako:

P/p = (D/d)² – gdzie D i d to średnice mato i strzały. Dla D=360 i d=8 otrzymamy 2025. To oczywiście czysta teoria, bo strzały nie są z gumy i nie da się ich tak upchnąć, żeby wypełniły całą przestrzeń.

Najlepszym upakowaniem okręgów na powierzchni jest ustawienie ich w tzw. plaster miodu (czyli środki strzał stykających się z sobą tworzą regularne sześciokąty). W takim układzie współczynnik wypełnienia (powierzchnia rurek w stosunku do powierzchni całości) wyniesie:

π / (2 * √3)  ≈ 0,90689968

W tej samej proporcji będzie też powierzchnia zajęta przez strzały w stosunku do powierzchni mato. Zatem strzał zmieści się 2025 * 0,90689968 = 1836.

Ale to też tylko teoria, bo współczynnik wypełnienia dotyczy powierzchni, która nie jest ograniczona, a my mamy przecież mato…

W najszerszym miejscu da się włożyć 360/8 = 45 strzał. Układając zatem kolejne warstwy jak plaster miodu (23, 24..43, 44, 43..24, 23) upakujemy bez problemu 1519 strzał. Ale pozostaje jeszcze 6 obszarów pomiędzy krawędziami „plastra” a łukiem mato… Wypadałoby policzyć ile rurek wejdzie w każdy z sześciu wycinków…

Tomek postanowił rozwiązać zadanie przy użyciu programu graficznego. Udało mu się „upchnąć” 1716 rurek.

Okazuje się jednak, że zadanie jest znacznie bardziej skomplikowane. Należy do tzw. problemów pakowania geometrycznego, klasy matematycznych problemów optymalizacyjnych, które wciąż czekają na rozwiązanie.

Dotychczas udało się udowodnić wcale nie tak wiele. Możecie o tym poczytać tutaj.

Ale od czego mamy w końcu komputery? Najbardziej wyczerpujące opracowanie tematu znalazłem na stronie Uniwersytetu Otto von Guericke w Magdeburgu. Na stronie można znaleźć cyfrowe symulacje upakowania dla bardzo dużej ilości kombinacji.

Gdyby ktoś potrzebował podbudowy teoretycznej – zachęcam do przejrzenia np. tej lub tej pracy. Ale uprzedzam, że nie jest lekko 🙂 !

Wydawałoby się, że upakowanie symetryczne (czyli jak największe wykorzystanie „plastra miodu”) da optymalny efekt. I taki sposób układania podpowiadałaby nam pewnie (tak jak Panu Karasawa) intuicja. Jednak rozwiązanie nie jest tak proste…

Poniżej obrazek na którym upakowano 1776 kółek.

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że w rzeczywistości szaft aluminiowy 2015 ma  7.9375 mm, to dalibyśmy radę upchnąć w mato okrągłe 1800 strzał.

Zapraszamy do przeliczenia! 🙂

Podczas ostatniego Turnieju 100 strzał wszyscy startujący trafili łącznie 1003 razy. Zatem gdyby strzelali do jednego mato, to i tak zostałoby jeszcze sporo miejsca 🙂 Ale próbować raczej nie radzimy…

Oczywiście czekamy jak zawsze na Wasze uwagi i wyniki ewentualnych własnych obliczeń lub eksperymentów.
A maturzystom życzymy 100% z matmy!